E = mc ^ 2 Ableitung der Gleichung

Einleitung: Der "Beweis" der speziellen Relativität

Als Einstein im Jahre 1905 seine spezielle Relativitätstheorie aufstellte wurde sie nur von wenigen Menschen verstanden - und noch weniger glaubten an diese Theorie. Es dauerte bis 1919 als die spezielle Relativitätstheorie als Folgerung eines Experimentes zur allgemeinen Relativitätstheorie bewiesen wurde. Heutzutage ist die Relativität routinemäßiger Bestandteil in vielen physikalischen Experimenten die weltweit regelmäßig durchgeführt werden. Doch diese Experimente sind hochspezialisiert und setzen einen hohen Grad an Wissen und Training voraus um sie zu verstehen. Also stellt sich die Frage welchen Beweis es für die allgemeine Öffentlichkeit geben kann das die spezielle Relativitätstheorie korrekt ist? Nun, der wahrscheinlich spektakulärste Beweis ist die Existenz von Nuklearwaffen! Diese Seite urteilt nicht über die Moral oder Unmoral dieser Waffen. Das ist - bei aller Wichtigkeit dieser Frage an sich - nicht das Ziel dieser Seite. Hier werden diese Waffen nur deshalb als Beispiel genommen weil wohl niemand die Existenz und Funktionsfähigkeit dieser Waffen anzweifeln kann. Nuklearwaffen (A- und H-Bomben) sind nach dem Prinzip gebaut das Masse in Energie umgewandelt werden kann. Und die Gleichung, durch welche dieser Vorgang der Umwandlung exakt beschrieben wird lautet E = mc 2 . Soweit, so gut, nur was hat das mit der speziellen Relativitätstheorie zu tun? Die Antwort ist das eben diese Formel eine direkte Ableitung aus der speziellen Relativitätstheorie ist! Wenn nun die spezielle Relativitätstheorie falsch wäre, dann würden die auf deren Ableitung basierenden Nuklearwaffen schlicht nicht funktionieren. Jede Theorie oder Behauptung welche der speziellen Relativitätstheorie widerspricht muss also beweisen woher diese, erwiesenermaßen korrekte Gleichung E = mc 2 stammt, - wenn nicht von der speziellen Relativitätstheorie. Es gibt durchaus noch andere Modelle der Relativität welche ebenso die Formel E = mc 2 enthalten, aber hier möchten wir nur das "Standardmodell" nach Einstein behandeln. Diese Seite erklärt - mit sowenig Mathematik wie möglich - wie E = mc 2 aus der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet wird. Dabei folgen wir den gleichen theoretischen Argumenten die Einstein benutzte.

Derive

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Die zwei Postulate

Die komplette spezielle Relativität basiert auf nur zwei "Regeln", oder wie der Physiker auch sagt, - Postulate:

ostulat I

: Das Prinzip der Relativität

In jedem Inertialsystem gelten die gleichen physikalischen Regeln.

Postulat II

: Das Prinzip der konstanten Lichtgeschwindigkeit.

Die Lichtgeschwindigkeit (in einem Vakuum) hat in jedem Inertialsystem die gleiche konstante Größe "c"

Der Sprung von diesen Postulaten zu E = mc2 erfordert nun etwas Arbeit. Um die folgende Argumentation nachvollziehen zu können sollte man mit der speziellen Relativität vertraut sein. Besonders wichtig ist dabei das Verständnis das Bewegung bei sehr hohen Geschwindigkeiten die Eigenschaften von Masse und Zeit geradezu dramatisch verändert. Wenn ihnen diese Prinzipien nicht vertraut sind können sie die Grundlagen hier nachlesen.

Die scheinbare Zunahme der Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

Eine der Folgerungen der speziellen Relativitätstheorie ist das mit steigender Geschwindigkeit scheinbar die Masse zunimmt. Um so schneller sich ein Objekt bewegt um so "schwerer" scheint es zu werden. In unserem täglichen Leben merkt man davon nichts, da unsere alltäglichen Geschwindigkeiten viel zu gering sind um diese Erscheinung hervorzurufen. Tatsächlich muss sich das Objekt schon mit einem beträchtlichen Prozentsatz der Lichtgeschwindigkeit (300.000 Kilometer pro Sekunde) fortbewegen, damit ein Masseanstieg deutlich bemerkbar wird. Die Gleichung welche uns zeigt wie hoch die Erhöhung der Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit ist lautet:

m = relativistische Masse, also die Masse bei einer bestimmten Geschwindigkeit

= "Ruhemasse", die. Masse des unbewegten Objekts

v = Geschwindigkeit des Objekts

c = Lichtgeschwindigkeit

Wobei:

Wenn wir uns dieses als Diagramm ansehen stellen wir fest das die Masse sich immer schneller in Richtung unendlich erhöht je mehr wir uns der Lichtgeschwindigkeit nähern

X Achse = Prozentsatz der Lichtgeschwindigkeit

Y Achse = Faktor des Masseanstieges.

Hierbei ist zu beachten das die Masse niemals kleiner als 1 sein. Das erscheint zuerst belanglos, immerhin ist klar das Masse nicht plötzlich ins Nichts verschwinden kann. Und doch werden wir später feststellen das dieser Fakt für das Verständnis wie die Gleichung E =mc 2 abgeleitet wird eine wesentliche Rolle spielt. Auch ist zu beachten das der Anstieg der Masse nicht vom Objekt selbst wahrgenommen wird. Genau so wie auch die Zeitausdehnung in der speziellen Relativität nicht vom Objekt selbst wahrgenommen wird. Diese Auswirkungen erscheinen nur dem externen Beobachter, daher sind sie "relativ", also abhängig vom jeweils benutzten Referenzrahmen. Für einen außenstehenden Bobachter erscheint es das mit steigender Geschwindigkeit immer mehr Energie benötigt wird um das Objekt zu bewegen. Offenbar steigt mit wachsender Geschwindigkeit der Widerstand gegen eine weitere Beschleunigung. Da aber das einzige was im Vakuum entsprechenden Widerstand bietet die Masse ist kann man aufgrund des gestiegenen Widerstandes den Schluss ziehen das auch die Masse angestiegen sein muss

Kinetische Energie

Als nächstes betrachten wir die Energie welche an Bewegungen im Hochgeschwindigkeitsbereich beteiligt ist. Wir haben gesehen das ein Objekt mit steigender Geschwindigkeit auch an Masse gewinnt und mit steigender Masse auch die zur Bewegung notwendige Energiemenge steigt. Die Standard-Gleichung für diese Bewegungsenergie (kinetische Energie) lautet:

Das bedeutet kinetische Energie ist gleich halbe Masse mal Geschwindigkeit zum Quadrat und wird oft auch als Newton'sche kinetische Energie bezeichnet. Man beachte das der Faktor v (Geschwindigkeit) zum Quadrat gesetzt ist, das bedeutet der Energiebedarf bei doppelter Geschwindigkeit um ein Vielfaches steigt. Wir sehen das deutlich wenn wir die die Gleichung mit zwei verschieden Geschwindigkeiten, v = 50ms-1 und v = 100ms-1 durchspielen, in beiden Fällen legen wir eine Masse von 10 Kg zugrunde:

12500 Joule zu 50000 Joule, also bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit benötigen wir bereits das Vierfache an Energie Diese Gleichung ist gut für "langsame" Geschwindigkeiten, also solche die uns im alltäglichen Leben begegnen. Wir wissen nun jedoch das sich mit der Geschwindigkeit auch die Masse ändert. Entsprechend verliert die Newton'sche Gleichung auch an Genauigkeit je mehr wir uns der Lichtgeschwindigkeit nähern. Wie also kompensieren wir nun diesen Anstieg der Masse?

Relativistische Kinetische Energie und Massezunahme

Um den Anstieg der Masse bei zunehmenden Geschwindigkeiten zu kompensieren müssen wir ihn in unsere Gleichung integrieren. Die Gleichung für die Massezunahme haben wir weiter oben schon mal gesehen:

Diese Gleichung zeugt uns das Masse (m) und Lichtgeschwindigkeit (c) irgendwie zusammenhängen. Was geschieht nun wenn die Geschwindigkeit (v) sehr niedrig ist? Einstein erkannte das man für diesen Fall den Masseanstieg einfach mit "mc 2 " annehmen kann kann. (Der exakte Beweis und die mathematischen Schritte dieser Ableitung sind sehr fortgeschritten und können hier nachgelesen werden). Somit erhalten wir eine Gleichung welche sowohl die kinetische Energie (E = 1/2 mv 2 ) als auch den Massezuwachs durch Bewegung (mc 2 ) berücksichtigt - wenigstens bei niedrigen Geschwindigkeiten:

damit scheint das Problem gelöst. Wir können nun die Energie eines sich bewegenden Objekts berechnen und können dabei den Masseanstieg berücksichtigen. Nun können wir dies Gleichung noch umstellen um zu zeigen das:

Dieses Ergebnis ist perfekt für niedrige Geschwindigkeiten, aber was ist wenn wir uns der Lichtgeschwindigkeit nähern? Wir wissen das die Masse mit steigender Geschwindigkeit ansteigt, aber das wird im Newton'schen Teil der Gleichung nicht erfasst. Also müssen wir den Newton'schen Teil der Gleichung ersetzen um diese Gleichung für alle Geschwindigkeiten gültig zu machen. Wie erreichen wir das? Wir wissen aus der soeben umgestellten Gleichung das bei niedrigen Geschwindigkeiten E - mc 2 der Newton'schen kinetischen Energie (1/2mv 2 ) entspricht. Entsprechend können wir nun E - mc 2 als Definition der relativistischen kinetischen Energie verwenden:

Hier haben wir nun den Newton'schen Teil der Gleichung entfernt. Wieder können wir die Formel umstellen und erhalten:

Wir wissen nun das relativistische Energie sich aus 2 Teilen zusammensetzt. Der eine Teil ist kinetisch und abhängig von der Geschwindigkeit eines Körpers. Der zweite Teil ist ausschließlich abhängig von der Masse. Jedoch, beides sind Energieformen. man kann nun die Gleichung noch mehr vereinfachen in dem man die Geschwindigkeit - also die relativistische Kinetische Energie - auf null herabsetzt und damit aus der Gleichung entfernt.

Jetzt haben wir die berühmte Gleichung in der Form wie man sie allgemein kennt, aber was ist ihre eigentliche Bedeutung? Wir haben gesehen das ein Körper in Bewegung an Masse zunimmt und zwar in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit (kinetische Energie). Ebenso können wir sagen das ein Körper mit abnehmender Geschwindigkeit mehr und mehr von dieser kinetischen Energie verliert bis diese beim erreichen des absoluten Stillstand den Wert Null erreicht. So weit, so gut, aber wie war das mit der Masse in Anhängigkeit von Geschwindigkeit? Wieder stellen wir fest das mit abnehmender Geschwindigkeit auch die Masse abnimmt, jedoch erreicht diese niemals den Wert Null.. Erinnern wir uns an das obige Diagramm das den kleinsten möglichen Faktor der Masse mit 1 angibt, - wir können eben Masse nicht einfach ins Nichts verschwinden lassen. Die kleinstmögliche Masse die ein Körper besitzen kann ist seine Masse bei absolutem Stillstand, die sogenannte Ruhemasse. Woher aber kommt nun die Energie für die wir ja so mühsam die Formel (E = mc 2 ) abgeleitet haben? Diese Energie muss also zwangsläufig auf irgendeine Art und Weise in der Masse des Körpers eingeschlossen sein. Entsprechend kam Einstein zu dem Schluss das Masse und Energie tatsächlich die gleiche Sache sind, das Masse also eigentlich nur extrem dicht gepackte Energie ist. Damals sah er keinen denkbaren Möglichkeit um diese Energie frei zu setzen, er war sogar skeptisch ob das überhaupt jemals gelingen würde. Jedoch war ihm das letztendlich egal, denn als theoretischer Physiker war er glücklich das sich seine Gleichungen als folgerichtig und Fehlerfrei erwiesen und das er nun ein Modell besaß anhand dessen er das Verhalten eines Körpers bei hohen Geschwindigkeiten vorausberechnen konnte.

Die Gleichung in ihrer kompletten Form:

Bis hierher haben wir die Energie bei sehr hohen Geschwindigkeiten als "relativistische kinetische Energie" (E - mc 2 ) erfasst. Dies erlaubte uns die Gleichungen relativ einfach zu halten. Aber es gibt einen ausführlicheren weg um darzustellen was hier gemeint ist. Ebenso wie bei "mc2" an sich ist die Ableitung der kompletten Gleichung für "E = mc 2 " sehr komplex und kann hier erarbeitet werden. Jedoch, für jemanden der mit der Mathematik der speziellen Relativitätstheorie vertraut ist wird die Art und Weise in der wir die kinetische Energie bei E =mc 2 berücksichtigen nicht überraschend sein. Die Gesamtenergie für einen Körper in Bewegung ist folgendermaßen gegeben:

Diese Gleichung enthält die Gesamtenergie (E), die Körpermasse (m), und die Geschwindigkeit des Körpers. (v). solchermaßen berücksichtig sie sowohl den relativistischen Anstieg der Masse als auch die relativistische kinetische Energie.

Fazit:

Das Thema dieser Seite ist schwer zu verstehen, obwohl hier komplizierte Mathematik soweit wie irgend möglich beiseite gelassen wurde. Der konzeptionelle Sprung von den beiden Postulaten der speziellen Relativitätstheorie zur Gleichheit von Masse und Energie ist sicherlich nicht sofort einleuchtend. Um so außerordentlicher ist es das Einstein die wahre Natur der Beziehung von Masse und Energie schon erkannte weit bevor diese experimentell bewiesen werden konnte. Die Ergebnisse von Einsten's Arbeit auf diesem Gebiet sind viel weiter verbreitet als man denkt und beeinflussen jeden unserer Lebensbereiche. Wie immer kann man die Ergebnisse sowohl gut als auch schlecht nennen, abhängig vom persönlichen Standpunkt. Man kann z.B. entweder denken das Atomkraftwerke - welche E = mc 2 sehr direkt umsetzen - eine gute oder auch eine schlechte Sache sind. Ebenso kann man bei Nuklearwaffen einerseits denken das sie einen Krieg beendet und andere Kriege verhindert haben, - man kann aber auch denken das diese Waffen unmoralisch sind und in den Händen der falschen Leute ein untragbares Risiko darstellen. Gerade in den letzten Jahren wurden bei der Nutzung von E = mc 2 im Bereich der Medizin - insbesondere in der Strahlentherapie gegen Krebs ungeheure Fortschritte erzielt. Und wieder kann man zwei verschieden Meinungen haben. Man kann das gut heißen weil es Menschenleben rettet - man kann aber auch sagen das man der Natur ins Handwerk pfuscht. Obwohl all diese verschiedenen Sichtweisen und Standpunkte wichtig und wertvoll sind ist es jedoch nicht die Aufgabe oder die Absicht dieser Seiten eine Meinung zu vertreten! Es geht hier ausschließlich um den Versuch die Wissenschaft hinter den ganzen zu erklären. Es ist viel zu spät um die "Erfindung" von E = mc 2 ungeschehen zu machen. Das beste was uns übrig bleibt ist diese Gleichung auf eine möglichst sachkundige Art und Weise für die Dinge zu nutzen die wir für erstrebenswert halten.